有限元法分析过程

无雨无尘 · 发表于 2017-9-18 20:59:01

土木工程、岩土工程等学科中的弹塑性、粘弹性、粘塑性力学，水利、码头工程等的流体力学和流体-固体耦合作用，交通和桥梁隧道工程中的层状介质路面力学、大型桥梁结构分析等都是力学学科的重要分支，其研究结果最终归结为求解数学物理方程边值或初值问题。但遗憾的是，这些学科传统的研究成果只对较为简单、规则的问题才能获得解析解答，大量实际科学、工程计算问题，由于数学上的困难无法得到解决。
有限单元法从正式提出至今已经历了半个多世纪的发展，从理论上讲，无论是简单的一维杆件体系结构，还是承受复杂荷载和不规则边界情况的二维平面问题、轴对称问题、三维空间块体问题等的静力、动力和稳定性分析，考虑材料具有非线性力学行为和有限变形的分  析，如温度场、电磁场，流体、液-固、结构与相互作用等工程复杂问题的分析，利用有限单元法都可得到满意的解决，而且其基本思路和分析过程是基本相同的。一、结构离散化
应用有限单元法来分析工程问题的第一步是将结构进行离散化。其过程就是将要分析的结构对象（或更数学化一点也可称为求解域）用一些假想的线或面进行切割，使其成为具有选定切割开关的有限个单元体（element）（注意单元体和材料力学中的微元体是根本不同的，它的惊讶是有限值而不是微量）。这些单元体被认为仅仅在单元的一些指定点相互连接，这些单元上的点则称为单元的结点（node）。这一步的实质就是用单元的集合体来代替原来要分析的结构。
为便于理论推导和用计算程序进行分析，一般来说结构离散化的具体步骤是：建立单元和整体坐标系，对单元和结点进行合理编号，为后续有限元分析准备出所必需的数据化信息。目前市面上有各种类型的有限元分析软件，一般都具有友好的用户图形界面和直观输入、输出计算信息的强大功能，使用都应用这些软件越来越方便。即便如此，使用这些大型软件的第一步“建模”工作，实际上就是建立离散化模型和准备所需的数据。二、确定单元位移模式
结构离散化后，接下来的工作就是对结构离散化所得的任一典型单元进行所谓单元特性分析。为此，必须对该单元中任意一点的位移分布做出假设，即在单元内用只具有有限自由度的简单位移代替真实位移。对位移元来说，就是将单元中任意一点的位移近似地表示成该单元结点位移的函数，该位移称为单元的位移模式（displacement mode）或位移函数（displacement function）。位移函数的假设合理与否，将直接影响有限元分析的计算精度、效率和可靠性。有限单元法发展初期常用的方法是以多项式作为位移模式，这主要是因为多项式的微积分去处比较简单。而且从泰勒级数展开的意义来说，任何光滑函数都可以用无限项的泰勒级数多项式来展开，当单元惊讶趋于微量时，多项式的位移模式趋于真实位移。位移模式的合理选择，是有限单元法最重要的内容之一，所谓创建一种新型的单元，确定位移模式是其核心内容。
不管哪类位移元，采用矩阵符号并建立相应的矩阵方程，单元中任意一点的位移矩阵d，均可用该单元结点位移排列成的矩阵[称为单元结点位移矩阵（element ondal displacement matrix）]()来表示式中N  称为形函数矩阵（shape function matrix）,其元素是坐标的函数。三、单元特性分析
  确定了单元位移模式后，就可以对单元做如下三个方面的工作：
（1）利用和位移之间的关系，即几何方程（geometrical equation），将单元中任意一点的应变    用待定的单元结点位移来表示，即如下的矩阵方程                         式中，B称为变形矩阵[也可称为应变矩阵（strain matrix）]，其元素一般也是坐标的函数。、
（2）利用应力和应变之间的关系，即物理方程（physical equation）,推导
出用单元结点位移  表示的单元中任意一点应力的矩阵方程             式中，D是由单元材料弹性常数所确定的弹性矩阵（elastic matrix）；S＝DB一般称为应力矩阵（stress martix），它的元素一般也是坐标的函数。（3）利用虚位移原理或最小势能原理（对其他类型的一些有限元将应用其他
对应的变分原理等）建立单元刚度方程式中，       为单元结点力矩阵（element nodal force matrix）;    由虚位移原理或最小势能原理推导所得，是将单元结点位移和单元结点力、单元等效结点荷载联系起来的联系矩阵，称为单元刚度矩阵（element stiffness matrix）。
积分式中  视所讨论的问题而民，对平面问题是单元的面积，对空间问题则表示单元的体积等。
在上述位移型有限元三个方面的工作中，从编制计算程序用计算机求解的角度来说，核心工作是建立单元刚度矩阵和单元等效结点荷载矩阵。正因如此，许多文献资料在单元刚度方程中没有这一项（因为在由单元集合成整体时，不同单元所交汇结点的全部结点力是彼此抵消的，即结点是平衡的）。但是，从理论的完整性、科学性来要求的话，单元刚度方程应该是式（1-4）形式。四、按离散情况集成所有单元的特性，建立表示整个结构结点平衡的方程组有了单元特性分析的结果，像结构力学中解超静定结构的位移法一样，对各单元仅在结点相互连接的单元集合体用虚位移原理或最小势能原理进行推导，可以建立起表示整个结构（确切地说是单元集合体）结点平衡的方程组，即整体刚度方程（global stiffness equation）
式中，K为整体刚度矩阵（global stiffness matrix）,P为整体综合结点荷载矩阵（global synthetic nodal force matrix）[它包含直接结点荷载矩阵（direct nodal force）与等效结点荷载矩阵（equivalent nodal force）两部分]，为结构整体结点位移矩阵（global nodal displacement matrix）。通过所谓直接刚度法（direct stiffness method），可以用“对号入座（add term according to its number）”方式由各单元的单元刚度矩阵和单元等效结点荷载矩阵集成整体刚度矩阵和整体等效结点荷载。
本步骤计算的细节取决于所求解的问题和所编制的计算程序的处理方法，对于一些问题将存在坐标（局部与整体）转换问题（coordinate transformation problem），对于一些问题还存在位移边界条件（displacement boundary condition）的引入等，作为绪论概述，这里不再赘述。五、解方程组和输出计算结果
对本书所讨论的纯属弹性计算问题，整体刚度方程式（1-6）一般是一组高阶的线性代数方程组。由于整体刚度矩阵具有带状（banded）、稀疏（sparse）和对称（symmerrical）等特性，在有限元发展过程中，人们通过研究，建立了许多不同的存储方式和计算方法，目的是计算机的存储空间和提高计算效率。利用相应的计算方法，即可救出全部求和的结点位移。
救出结构全部结点位移后，利用分析过程中已建立的一些关系，即可以进一步计算单元中的应力或内力，并以数表或图形的方式输出计算结果。依据这些结果，就可以进行具体结构的进一步设计[当前许多计算机辅助设计软件已经将有限元分析为其核心计算分析模块（对使用者这是黑匣子），由这一计算结果直接进行结构设计，并达到输出最终施工图的结果。
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