《经典力学的数学方法》里的一道题的推广？

陈丽容 · 发表于 2017-3-17 20:34:22

第十章51节里面的一题，就是那个三根杆转求平均速度极限的那个。手机不好打公式。今天没事做了一下。做出来后在想对于任意n根杆的情况是怎么样？因为原答案和三角形的稳定性很有关系，对于其他n好像就很复杂了。注释里说有本《经典力学中的遍历问题》附录13讲了这个问题的，有没有谁看过啊，里面有没有关于一般n的情况？

一瓶水 · 发表于 2017-3-17 21:34:23

看样子没人回答这个问题……这周回家找到了这本书。
看了一下，虽然给出了一般n的情况，但是给了一个没有用的结论，n=3的计算过程都没有……真是坑爹啊。而且给的结论不太有可操作性啊……
不过我觉得我居然是用复变函数的方法做出来的，思路和这里完全不一样啊……
我现在准备着手做的是先研究频率非完全独立的情况，然后再取极限，研究一个连续变化的Ai点。
准备取名叫触手定理，因为感觉这货扭来扭去就像触手一样……

我不是绅士……

TVXQ · 发表于 2017-3-17 21:19:25

可能和问的问题不一样，无视掉物理背景，我来计算

这是可以靠arnold这一章的空间平均=时间平均定理解决的，过程如下：
首先

求个导数写成积分的样子

常数C在极限过程中并没有什么用，下面不妨看做0。

如果我们直接对这个式子应用化时间平均的极限为空间平均，我们需要找一条轨道，一条显然的轨道就是，这个时候我们被积函数的形式为，然后积分对n个积分之后就变成了一个无关于的一个数。显然，这样的转化对问题没什么帮助，所以，我们需要去寻找另一组有理无关的频率。为了可解性等一大堆理由，我们相信，这样的频率应当取做的某种线性组合，且从的有理无关，可以推出他们相互有理无关。

记，可以注意到恒等式：

所以如果我们选这n-1个变量（当i=1的时候为零）作为我们的频率（显然是有理无关的），此时对于其他的i和j不等于1，我们有

那么上面积分中的被积式就是如下形式：

直接化作对空间的积分就得到了

后面就是爆算积分一波带走，但是，不做计算也可以直接看到，极限是的线性组合。
特殊函数没怎么学过，不知道有没有公式简化这个积分。
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1. 三角的情况：

即使是二重积分，计算量也特别感人。数值计算了一下，大概是对的（验证了直角三角形和等边三角形）。
2. 不知在哪个年份的夏日的下午的教室里，我写过4根杆的Lagrange函数，但年代久远，物理早已忘光了。
3. 有理无关是为了空间平均=时间平均。我觉得三角的情况可能和三角形稳定性没什么关系。